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在小变形弹塑性理论中,应变ε分解为弹性应变εe和塑性应变εp之和:
其中,σ是Cauchy应力(名义应力),M称为损伤影响张量、是D的函数:
其中,I是四阶等同张量。四阶损伤张量D一般含有21个独立分量。在各向同性损伤理论描述中,D可简化为由一个标量损伤变量D表示。相应地,损伤影响张量退化为:
换言之,塑性损伤模型引入标量因子(1-D)描述了混凝土在应力应变作用过程中的变形模量退化行为。
式中,、
分别为有效应力空间中第一应力不变量和等效偏应力,
、
分别为混凝土材料的单轴抗压和抗拉强度。且:
式中,为混凝土材料未出现损伤时的单轴抗压强度,
为相应的双轴压缩强度。且,参数
的取值区间为0 ≤
< 0.5。
图1:混凝土本构模型在双轴应力(平面应力)空间中的初始屈服面示意图
(三) 流动法则
建立流动法则的意图在于求解塑性应变率,一般通过引入标量塑性势函数g来进行定义。对于给定的有效应力空间内的塑性势,塑性应变可写为:
|
(12) |
式中,λ为非负函数、一般称为塑性乘子。依据式(10),采用相应的塑性势函数分别为:
l AB段: |
(13) |
l BC段: |
|
l CD段: |
式中,,
,
为膨胀角。
除塑性应变外,塑性-损伤本构模型还应描述介质在屈服过程中的损伤行为。模型中定义的损伤变量在介质屈服过程中按下式演变:
当 |
(14) |
当 |
其中,、
分别为沿最大、最小主应力方向上的塑性应变;函数
为取决于有效应力状态的应力权重系数:
|
(15) |
当受力条件为纯受压、或纯拉伸时,分别为0和1,
取值在0 ~ 1之间变化。
(四) 损伤演化定律
为模拟拉伸和压缩载荷的不同损伤状态,模型将和
视为彼此独立的损伤变量。强度硬化、变形模量的演化方程通过对单轴应力强度函数
予以分解得到,即:
|
(16) |
式中,0≤<1,且
>0。
描述了屈服方程的强度条件在有效应力空间中的演化过程,而
则定义了材料变形模量因损伤累积导致的退化行为:
|
(17) |
式中,参数s、Dc、Dt的定义可进一步参考文献[5]。上式还可以表达为指数关系:
|
(18) |
其中,为需待定的模型输入参数。
(五) 模型参数分析和标定方法
依据Lubliner等塑性-损伤模型理论,对于单轴压缩、单轴拉伸荷载条件,模型引入了一个便于分析的-
函数近似描述混凝土材料在损伤过程中的应力与塑性应变之间的关系:
|
(19) |
式中,和
是材料常数,
为材料未出现损伤时的强度应力。图2、图3分别给出了典型的混凝土单轴压缩和单轴拉伸应力应变曲线,式(19)定义了材料在ABD段加载条件下应力与塑性应变之间的关系。通常地,图2、图3可通过实验室试验数据处理得到。
图2:典型的混凝土单轴压缩应力应变曲线(上图:单轴应力与应变的关系;下图:单轴应力与塑性应变的关系)
图3:典型的混凝土单轴拉伸应力应变曲线(上图:单轴应力与总应变的关系;下图:单轴应力与塑性应变的关系)
进一步参考图2、图3,假定-
曲线无限演变、且与横轴(应变轴)所包络的总面积为
,对于某一给定塑性应变
,相应的损伤变量定义为
-
曲线包络面积与总面积
的比值,即:
|
(20) |
式中,0≤≤1。据此,式(19)可进一步改写为以
作为变量的形式:
|
(21) |
式中,。
式(20)中的称为总断裂比能(或称为总耗散比能,定义了单位体积材料中耗散的断裂能)。令式(19)对整个坐标轴积分,得到
的闭合解析解:
|
(22) |
同时,-
函数的初始斜率为:
|
(23) |
需注意的是,>1表示了初始硬化(如,当单轴压缩荷载条件即
=c时),
<1表示材料屈服后立即进入软化阶段(如,当单轴拉伸荷载条件即
=t时)。当
>1时,
处于极值条件(如图2中的A点):
|
(24) |
相应的应变为:
|
(25) |
对于如单轴压缩荷载条件、初始应力应变关系表现为硬化行为的受力情形,材料常数可利用下式推算得到:
|
(26) |
对于如单轴拉伸荷载条件、初始应力应变关系表现为软化行为的受力情形,模型引入假定,进而经变换式(19)、式(22)可同时得到:
|
(27) |
以及:
|
(28) |
在已知和
的前提下,一旦确定参数
,参数
可进一步利用式(22)换算得到。
由于应变局部化性质,无法直接作为模型输入参数。
一般可由单位面积上吸收的断裂能
和局部化变形带的特征尺寸
求得:
|
(29) |
式中,拉伸断裂能是一个得到普遍认同的稳定的材料属性,已经有比较成熟的测试方法和取值建议;而关于压缩断裂能
则存在着很多争议。特征尺寸
被一些研究者假设为一种材料属性,由于目前对于精确模拟应变局部化行为尚存在困难,
常常被定义为一种与单元形状和尺寸有关的量(在这种情况下,数值计算中采用的本构关系实际上依赖于单元划分)。
(一) 模型参数及确定方法
表1给出了ITASCA混凝土本构模型待定参数。
模型中定义了四个变形参数,其中独立变量仅为2个,一般习惯采用参数输入组合(K,G)、或(E,v)。
依据试验试验成果(应力应变曲线),参数、
、
、
可通过反演分析快速确定,此外还可以确定过渡性参数
、
。其中,
表示在单轴压缩条件下,当应力达到峰值强度时的卸荷/再加载模量,
为对应于单轴拉伸条件软化阶段时,当应力达到50%峰值强度时的卸荷/再加载模量,如图2、图3中的BC段。在上述参数已确定前提下,其余重点参数的确定方法如下:
l 的确定:在单轴压缩条件下,
通过式(26)确定;对于单轴拉伸的情形,模型假定
=0;
l 通过式(22)变换得到,即
;
l 损伤变量的确定方法:
Ø 对于单轴压缩受力条件,联立式(18)、式(19)得到:
|
(30) |
Ø 对于单轴拉伸受力条件,联立式(18)、式(27)得到:
|
(31) |
表1:混凝土本构模型待定参数
分类 |
关键字 |
力学定义 |
变 形 参 数 |
bulk |
体积模量K |
shear |
剪切模量G |
|
young |
杨氏模量E |
|
poisson |
泊松比v |
|
压缩行为描述性参数 |
compression-strength |
单轴抗压强度 |
compression-initial |
单轴压缩条件起裂强度 |
|
compression-energy-fracture |
压缩断裂能 |
|
compression-length-reference |
压缩特征尺寸 |
|
ratio-biaxial |
双轴压缩强度与单轴压缩强度之比 |
|
compression-d |
压缩损伤因子 |
|
dilation |
膨胀系数 |
|
拉伸行为描述性参数 |
tension-strength |
单轴抗拉强度 |
tension-initial |
单轴拉伸条件起裂强度 |
|
tension-energy-fracture |
拉伸断裂能 |
|
tension-length-reference |
拉伸特征尺寸 |
|
tension-d |
拉伸损伤因子 |
|
tension-recovery |
拉伸荷载条件刚度恢复参数 |
模型案 例
(一) 案例1:混凝土材料单轴压缩和单轴拉伸模型试验
本案例来自于程序手册,案例名为“Uniaxial Compression and Extension Tests with Concrete Model”。
本案例利用混凝土本构模型模拟了混凝土材料在单轴压缩和单轴拉伸荷载条件下的应力应变响应,模型输入参数如表2所示,图4、图5给出了模拟结果。其中,混凝土材料在应力应变曲线中的OA段为弹性响应行为,且自A点开始出现损伤、并随应变进一步累积,导致材料变形性质出现退化现象、即应力应变曲线表现为非线性特征。
表2:模型输入参数
图4:单轴压缩荷载条件应力应变曲线
图5:单轴拉伸荷载条件应力应变曲线
(二) 案例2:混凝土梁受力分析
本案例模拟了混凝土梁在集中荷载作用下的受剪破坏过程。其中,左图为依据室内试验成果进行参数标定的数值试验模拟成果,右图给出了混凝土梁受荷载作用的破坏过程,特别是直观指示了损伤破裂在梁体破坏过程中的分布情况,包括破裂位置、形态及演化过程。依据分析结果可知,梁体破坏时其底部将分布有大量竖向拉裂纹,支座部位在加载过程中出现剪切破坏现象,随持续变形、损伤累积直至形成斜向贯穿梁体的剪切裂纹,模拟分析结果显然可以与试验成果及相关经验认识取得很好的一致。
小 结
在塑性-损伤模型的发展过程中,塑性理论基本处于辅助与配合的位置,而屈服准则、强化法则和流动法则等方面往往都比较粗糙。在混凝土塑性理论方面,塑性、损伤行为在本构模型中如何合理融合这一核心问题长期制约着塑性-损伤模型的建立。早期研究者尝试在塑性理论中同时兼顾混凝土损伤行为的描述,这一处理方式给塑性-损伤模型中使用的强度准则的建立带来了很大的限制。问题之一在于加大了建立损伤准则的难度,另外在很多塑性-损伤模型中,流动法则直接关系到塑性Helmholtz自由能的计算,进而影响着损伤演化。简单来说,早期很多本构模型中的塑性行为、损伤行为描述两者之间存在有极其复杂的耦合关系,给模型建立及其计算分析难以克服的困难。ITASCA混凝土本构模型将损伤行为分解为有效应力响应和刚度退化两个环节,实现了解耦式塑性-损伤本构模型及计算分析。
此外,由于混凝土材料塑性及损伤行为的复杂性,目前涉及理论、试验等技术环节尚难以合理把握混凝土材料变形破坏的各向异性性质及行为。现实中一般将混凝土材料视为各向同性材料,因此ITASCA混凝土本构模型是建立在各向同性损伤理论基础上的。
图6:混凝土梁在剪切荷载作用下的破坏过程
参考文献:
[1] 张骥. 混凝土塑性-损伤本构模 型研究[D].华中科技大学, 2010.
[2] FLAC3D 9.0 Manual. Itasca Consulting Group, Inc.
[3] Lee, J., & Fenvas, G. L. (1998). Plastic-damage model for cyclic loading of concrete structures. Journal of engineering mechanics, 124(8), 892-900.
[4] Lee, J., & Fenves, G. L. (1998). A plastic damage concrete model for earthquake analysis of dams. Earthquake engineering & structural dynamics, 27(9), 937-956.
[5] Lubliner, J., Oliver, J., Oller, S., & Onate, E. (1989). A plastic-damage model for concrete. International Journal of solids and structures, 25(3), 299-326.