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混凝土是一种准脆性材料，其破坏过程与延性材料（如金属）和脆性材料（如玻璃）都有显著区别。混凝土材料的本构关系常常采用经验物理模型（单轴本构模型）或理论物理模型（多轴本构模型）来描述。后者主要有弹性模型（包括Cauchy 弹性、超弹性和亚弹性）、塑性模型（包括弹塑性、超塑性和亚塑性）和损伤模型等。

 

在结构非线性分析中，需要同时反映混凝土材料的永久变形和刚度退化这二种行为特征。对此 Cauchy 弹性和超弹性模型完全无能为力，弹塑性和超塑性模型仅反映永久变形，损伤模型仅反映刚度退化。一些亚弹性和亚塑性模型可以初步实现这一目的，但是永久变形和刚度退化二者很难独立刻画，而且本构关系不（严格）遵守热力学原理。将塑性模型（特指弹塑性）与损伤模型结合在一起的塑性-损伤模型为永久变形和刚度退化的描述提供了广阔的空间，并且具有严格的热力学基础，目前被普遍认为是一种较为理想的本构理论。

 

混凝土的受拉断裂和受压破碎都是随机分布的微裂纹的形成和演化的结果。在宏观现象上，微裂纹的演化一方面表现为材料的强化（或软化）和永久变形，这可以用塑性理论描述；另一方面表现为材料刚度的退化，这可以用连续介质损伤力学描述。为了同时反映这二种重要的宏观力学行为，近三十年以来，研究者们开始发展将塑性理论和连续介质损伤力学结合在一起的混凝土本构模型。

 

这一结合的尝试最早可追溯到Bazant和Kim的混凝土塑性-断裂理论，其中塑性理论是建立在Cauchy 应力空间中（受损材料上）的；随后的一类塑性-损伤模型采取了类似的做法。与之相对应，Ju和Simo开创了将塑性理论建立在有效应力空间（无损材料上）的方法；基于有效应力空间概念，随后另一类塑性-损伤模型采用了将弹塑性反应和刚度退化损伤反应两者进行解耦处理的做法。

 

Lubliner等人建立的“巴塞罗那模型”是早期一个有代表性的混凝土塑性-损伤模型，对其后二十余年以来的研究和应用影响很大。该模型仅适用于单调加载和不出现拉、压交变的循环加/卸载，耦合的刚度退化与塑性变形反应使得数值算法复杂而不稳定。在此基础上，Lee 和Fenves提出的模型进一步描述相互独立的拉、压强化/损伤模式，以及反向加载时的刚度恢复现象，能满足结构地震反应分析的需要；另一方面，成功地实现了在有效应力空间中演绎塑性理论的思想，显著提高了计算效率和稳定性。

 

以Lubliner、Lee等人研究成果为基础，通过对若干环节作技术改进或为便于分析引入假定，ITASCA建立了混凝土本构模型（Concrete Model）、并将随ItascaSoftware900新版软件包（含FLAC/FLAC3D V9.0、3DEC V9.0等）发布。

 

模型原理

(一)        基本概念

许多塑性-损伤模型都遵循以下几项前提：

1.       应变的弹塑性分解

在小变形弹塑性理论中，应变ε分解为弹性应变εe和塑性应变εp之和:

2.       线弹性关系

本构关系中的线弹性部分由弹性模量E描述为：

其中，符号“:”表示双点积。

3.       有效应力

Kachanov在连续介质损伤力学中引入了有效应力的概念（这里的有效应力概念不同于流-固耦合作用利用的有效应力），用于定义无损材料的受力条件，而受损材料与无损材料几何构型的相对关系通过损伤变量D来反映。在一维问题中，标量损伤变量D可定义为缺陷面积和总面积的比值；在多维问题中，无论材料中微缺陷的分布和演化沿各个方向完全相同（各向同性损伤）还是不同（各向异性损伤），一般来说都需要采用一个四阶损伤张量D来描述这一缺陷状态。

 

通过损伤张量D，有效应力可表达为：

其中，σ是Cauchy应力（名义应力），M称为损伤影响张量、是D的函数：

其中，I是四阶等同张量。四阶损伤张量D一般含有21个独立分量。在各向同性损伤理论描述中，D可简化为由一个标量损伤变量D表示。相应地，损伤影响张量退化为：

由此得到简单的映射关系：

4.       等效应变假设

根据Lemaitre的应变等效假设，宏观受损材料在Cauchy应力σ作用下的（弹性）应变响应等效于细观无损材料在有效应力作用下的（弹性）应变响应。对于包含线弹性模型的本构理论。依据应变等效假设，可建立如下关系：

其中，E0、E分别是无损材料、与受损材料的弹性模量。在有效应力空间中，混凝土的弹性刚度始终保持为初始值E0不变；而在Cauchy应力空间中，弹性刚度E随损伤变量D的演化而退化。由式（3）、（4）和（7）得：

对于标量损伤，由式（6）、（7）得：

换言之，塑性损伤模型引入标量因子（1-D）描述了混凝土在应力应变作用过程中的变形模量退化行为。

 

5.       强化-损伤模式的力学定义和标定方法

混凝土材料在加载过程中所处的应力状态可分为单纯拉伸应力状态、单纯压缩应力状态和混合拉压应力状态。常用的单纯拉伸加载路径有单轴拉伸试验和等双轴拉伸试验等，常用的单纯压缩加载路径有单轴压缩试验、等双轴压缩试验和恒定围压三轴压缩试验等，常用的混合拉压加载路径有纯剪切试验等。在这些用来标定基本强化-损伤模式的材料试验中，绝大多数属于简单加载；少数属于复杂加载的（如恒定围压三轴压缩试验）也始终处于同一个应力状态类别中。

 

鉴于上述讨论，在实用中，混合拉压加载路径（如纯剪切试验）不常用来定义和标定本构模型中的基本强化-损伤模式，仅用单纯拉伸加载路径和单纯压缩加载路径就可以较好的反映混凝土在不同荷载下的强化-损伤行为，即介质在受力变形过程中的损伤行为通过变量（，c、t分别表示单纯压缩和单纯拉伸受力条件）来描述。具体而言，包含两个独立的损伤变量即（）、（）分别用于定义拉伸损伤和压缩损伤行为，且每个变量都被分解为有效应力响应和刚度退化响应两部分内容，从而实现基于解耦方法的塑性-损伤模型计算分析。

 

(二)      屈服准则

图1表示了混凝土本构模型初始屈服面在双轴应力（平面应力）空间中的形态（包络线）示意图。因屈服包络线沿AD为轴对称，此处仅说明A-B-C-D线条分别采用的屈服准则。引入主应力关系σ1≤σ2≤σ3、及拉应力为正相关定义，ITASCA混凝土本构模型总体混合包含了三段式屈服准则：

式中，、分别为有效应力空间中第一应力不变量和等效偏应力，、分别为混凝土材料的单轴抗压和抗拉强度。且：

式中，为混凝土材料未出现损伤时的单轴抗压强度，为相应的双轴压缩强度。且，参数的取值区间为0 ≤< 0.5。

 

图1：混凝土本构模型在双轴应力（平面应力）空间中的初始屈服面示意图

 

(三)      流动法则

建立流动法则的意图在于求解塑性应变率，一般通过引入标量塑性势函数g来进行定义。对于给定的有效应力空间内的塑性势，塑性应变可写为：

式中，λ为非负函数、一般称为塑性乘子。依据式（10），采用相应的塑性势函数分别为：

式中，，， 为膨胀角。

 

除塑性应变外，塑性-损伤本构模型还应描述介质在屈服过程中的损伤行为。模型中定义的损伤变量在介质屈服过程中按下式演变：

其中，、分别为沿最大、最小主应力方向上的塑性应变；函数为取决于有效应力状态的应力权重系数：

当受力条件为纯受压、或纯拉伸时，分别为0和1，取值在0 ~ 1之间变化。

 

(四)       损伤演化定律

为模拟拉伸和压缩载荷的不同损伤状态，模型将和视为彼此独立的损伤变量。强度硬化、变形模量的演化方程通过对单轴应力强度函数予以分解得到，即：

式中，0≤<1，且>0。描述了屈服方程的强度条件在有效应力空间中的演化过程，而则定义了材料变形模量因损伤累积导致的退化行为：

式中，参数s、Dc、Dt的定义可进一步参考文献[5]。上式还可以表达为指数关系：

其中，为需待定的模型输入参数。

 

(五)        模型参数分析和标定方法

依据Lubliner等塑性-损伤模型理论，对于单轴压缩、单轴拉伸荷载条件，模型引入了一个便于分析的-函数近似描述混凝土材料在损伤过程中的应力与塑性应变之间的关系：

式中，和是材料常数，为材料未出现损伤时的强度应力。图2、图3分别给出了典型的混凝土单轴压缩和单轴拉伸应力应变曲线，式（19）定义了材料在ABD段加载条件下应力与塑性应变之间的关系。通常地，图2、图3可通过实验室试验数据处理得到。

 

图2：典型的混凝土单轴压缩应力应变曲线（上图：单轴应力与应变的关系；下图：单轴应力与塑性应变的关系）

 

图3：典型的混凝土单轴拉伸应力应变曲线（上图：单轴应力与总应变的关系；下图：单轴应力与塑性应变的关系）

 

进一步参考图2、图3，假定-曲线无限演变、且与横轴（应变轴）所包络的总面积为，对于某一给定塑性应变，相应的损伤变量定义为-曲线包络面积与总面积的比值，即：

式中，0≤≤1。据此，式（19）可进一步改写为以作为变量的形式：

式中，。

 

式（20）中的称为总断裂比能（或称为总耗散比能，定义了单位体积材料中耗散的断裂能）。令式（19）对整个坐标轴积分，得到的闭合解析解：

同时，-函数的初始斜率为：

需注意的是，>1表示了初始硬化（如，当单轴压缩荷载条件即=c时），<1表示材料屈服后立即进入软化阶段（如，当单轴拉伸荷载条件即=t时）。当>1时，处于极值条件（如图2中的A点）：

相应的应变为：

 

对于如单轴压缩荷载条件、初始应力应变关系表现为硬化行为的受力情形，材料常数可利用下式推算得到：

 

对于如单轴拉伸荷载条件、初始应力应变关系表现为软化行为的受力情形，模型引入假定，进而经变换式（19）、式（22）可同时得到：

以及：

在已知和的前提下，一旦确定参数，参数可进一步利用式（22）换算得到。

 

由于应变局部化性质，无法直接作为模型输入参数。一般可由单位面积上吸收的断裂能和局部化变形带的特征尺寸求得：

式中，拉伸断裂能是一个得到普遍认同的稳定的材料属性，已经有比较成熟的测试方法和取值建议；而关于压缩断裂能则存在着很多争议。特征尺寸被一些研究者假设为一种材料属性，由于目前对于精确模拟应变局部化行为尚存在困难，常常被定义为一种与单元形状和尺寸有关的量（在这种情况下，数值计算中采用的本构关系实际上依赖于单元划分）。

 

(一)                       模型参数及确定方法

表1给出了ITASCA混凝土本构模型待定参数。

 

模型中定义了四个变形参数，其中独立变量仅为2个，一般习惯采用参数输入组合（K，G）、或（E，v）。

 

依据试验试验成果（应力应变曲线），参数、、、可通过反演分析快速确定，此外还可以确定过渡性参数、。其中，表示在单轴压缩条件下，当应力达到峰值强度时的卸荷/再加载模量，为对应于单轴拉伸条件软化阶段时，当应力达到50%峰值强度时的卸荷/再加载模量，如图2、图3中的BC段。在上述参数已确定前提下，其余重点参数的确定方法如下：

l                      的确定：在单轴压缩条件下，通过式（26）确定；对于单轴拉伸的情形，模型假定=0；

l                      通过式（22）变换得到，即；

l                      损伤变量的确定方法：

Ø                      对于单轴压缩受力条件，联立式（18）、式（19）得到：

Ø                      对于单轴拉伸受力条件，联立式（18）、式（27）得到：

 

表1：混凝土本构模型待定参数

 

模型案 例

(一)                       案例1：混凝土材料单轴压缩和单轴拉伸模型试验

本案例来自于程序手册，案例名为“Uniaxial Compression and Extension Tests with Concrete Model”。

 

本案例利用混凝土本构模型模拟了混凝土材料在单轴压缩和单轴拉伸荷载条件下的应力应变响应，模型输入参数如表2所示，图4、图5给出了模拟结果。其中，混凝土材料在应力应变曲线中的OA段为弹性响应行为，且自A点开始出现损伤、并随应变进一步累积，导致材料变形性质出现退化现象、即应力应变曲线表现为非线性特征。

 

表2：模型输入参数

 

图4：单轴压缩荷载条件应力应变曲线

图5：单轴拉伸荷载条件应力应变曲线

 

 

(二)      案例2：混凝土梁受力分析

本案例模拟了混凝土梁在集中荷载作用下的受剪破坏过程。其中，左图为依据室内试验成果进行参数标定的数值试验模拟成果，右图给出了混凝土梁受荷载作用的破坏过程，特别是直观指示了损伤破裂在梁体破坏过程中的分布情况，包括破裂位置、形态及演化过程。依据分析结果可知，梁体破坏时其底部将分布有大量竖向拉裂纹，支座部位在加载过程中出现剪切破坏现象，随持续变形、损伤累积直至形成斜向贯穿梁体的剪切裂纹，模拟分析结果显然可以与试验成果及相关经验认识取得很好的一致。

 

小  结

在塑性-损伤模型的发展过程中，塑性理论基本处于辅助与配合的位置，而屈服准则、强化法则和流动法则等方面往往都比较粗糙。在混凝土塑性理论方面，塑性、损伤行为在本构模型中如何合理融合这一核心问题长期制约着塑性-损伤模型的建立。早期研究者尝试在塑性理论中同时兼顾混凝土损伤行为的描述，这一处理方式给塑性-损伤模型中使用的强度准则的建立带来了很大的限制。问题之一在于加大了建立损伤准则的难度，另外在很多塑性-损伤模型中，流动法则直接关系到塑性Helmholtz自由能的计算，进而影响着损伤演化。简单来说，早期很多本构模型中的塑性行为、损伤行为描述两者之间存在有极其复杂的耦合关系，给模型建立及其计算分析难以克服的困难。ITASCA混凝土本构模型将损伤行为分解为有效应力响应和刚度退化两个环节，实现了解耦式塑性-损伤本构模型及计算分析。

 

此外，由于混凝土材料塑性及损伤行为的复杂性，目前涉及理论、试验等技术环节尚难以合理把握混凝土材料变形破坏的各向异性性质及行为。现实中一般将混凝土材料视为各向同性材料，因此ITASCA混凝土本构模型是建立在各向同性损伤理论基础上的。

 

图6：混凝土梁在剪切荷载作用下的破坏过程

 

 

      

 

参考文献：

[1]   张骥. 混凝土塑性-损伤本构模 型研究[D]. 华中科技大学, 2010.

[2]   FLAC3D 9.0 Manual. Itasca Consulting Group, Inc.

[3]   Lee, J., & Fenvas, G. L. (1998). Plastic-damage model for cyclic loading of concrete structures. Journal of engineering mechanics, 124(8), 892-900.

[4]  Lee, J., & Fenves, G. L. (1998). A plastic damage concrete model for earthquake analysis of dams. Earthquake engineering & structural dynamics, 27(9), 937-956.

[5]   Lubliner, J., Oliver, J., Oller, S., & Onate, E. (1989). A plastic-damage model for concrete. International Journal of solids and structures, 25(3), 299-326.